A primeira etapa consiste em compreender o problema. Identificar a incógnita, os dados e as condicionantes porque ninguém consegue responder a uma pergunta sem que antes a tenha compreendido. Se existir uma figura relacionada com o problema deverá ser desenhada, e nela indicar os dados do problema e a incógnita.

Estamos aptos a avançar? No caso de uma resposta positiva é importante estabelecer um plano. Para tal deve-se procurar uma relação entre os dados e a incógnita. Consigo recordar-me de um problema semelhante que conheça? É possível utilizar o mesmo método? Devo introduzir algum elemento auxiliar para tornar possível a sua utilização? Estas e outras perguntas têm como finalidade encontrar uma ideia para solucionar o problema proposto. Todas as interrogações são válidas, mas nunca devemos esquecer que é difícil ter uma boa ideia se pouco conhecermos do assunto e que é impossível tê-la se dele nada soubermos.

A terceira etapa consiste em executar o plano, verificando cada passo de modo a que tudo fique perfeitamente claro, sem lugar a erros.

Finalmente deve ser feita uma retrospectiva do que foi feito. Examinar a solução obtida. É uma forma de consolidar os conhecimentos e aperfeiçoar a capacidade de resolver problemas. A presença de erros, ao longo da execução do plano, é uma ameaça que não deve ser minimizada. Tentar resolver o problema por um processo diferente é outro desafio que podemos colocar a nós próprios.

Cada uma das quatro fases é importante. Pontualmente pode ocorrer uma ideia brilhante fazendo com que se chegue imediatamente à solução, mas não é aconselhável ultrapassar etapas de forma deliberada. Por outro lado é inútil fazer cálculos e desenhos sem primeiro ter compreendido o problema. Não se devem executar detalhes sem perceber a estrutura geral ou sem ter feito previamente um plano.

O livro de Pólya não é a solução milagrosa para a resolução de problemas. O progresso na área da matemática, como em outros campos do saber, é fruto de trabalho, persistência, método e de alguma serendipidade. Ainda assim penso que a base desta metodologia deve ser tida em conta tanto na área da matemática como também em diversas situações no nosso quotidiano.

Links:

• George Pólya (Wikipédia)
• George Pólya – How to Solve It (Wikipédia – Língua Inglesa)

Sucessão de Fibonacci

Na segunda metade do século XII, por volta do ano 1175, nasceu em Itália um dos mais importantes matemáticos da Idade Média. Leonardo de Pisa (1170 – 1250), mais tarde conhecido por Fibonacci. O seu pai era comerciante, actividade que exigia bastantes conhecimentos de cálculo. Curioso e atento ao que o rodeava Fibonacci cedo manifestou interesse em aprender os segredos da Matemática. Acompanhou o pai nas suas viagens o que lhe permitiu contactar com o sistema de numeração árabe quando na Europa Ocidental ainda se utilizava a numeração romana para efectuar registos de cálculos.

No ano de 1202 publicou Liber Abaci, o livro do ábaco, onde explicava a utilização dos algarismos nas operações aritméticas. Nesta obra é também apresentado, entre outros assuntos, um problema que ganhou lugar de destaque na história da Matemática. O problema dos coelhos.

Num recinto é colocado um casal de coelhos que acabou de nascer. Supondo que em cada mês, a partir do segundo mês de vida, um casal de coelhos dá origem a outro casal de coelhos, quantos casais de coelhos existem no recinto no início de cada mês?

A solução do problema recebeu o nome de sucessão de Fibonacci. O primeiro e segundo termo da sucessão é 1 e todos os outros são obtidos pela soma dos dois termos precedentes.

Sucessão de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Divina proporção e o web design

A sucessão de Fibonacci, aplicada no campo da geometria, permite construir uma espiral utilizando quadrados cuja medida dos lados são 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Esta espiral é bastante famosa e tem aplicações práticas em diversas áreas que vão desde a ciência até às artes.

Contudo e no âmbito deste artigo o que é realmente saliente e fascinante é o facto da sucessão definida pela razão entre cada termo da sucessão e o termo anterior convergir para um limite. O valor deste limite é um número irracional. Um número ao qual é dada a designação de razão de ouro, representada pela letra grega Phi.

A razão de ouro é curiosamente facilmente encontrada na natureza, arquitectura, música, economia e em muitas outras áreas. É até considerada por alguns como obra de Deus devido à sua elevada abundância em diversas áreas no Universo sendo inclusivamente intitulada de proporção divina.

Ao trabalhar em design tendo em conta esta proporção estão-se automaticamente a desenvolver obras que seguem princípios sobre os quais o cérebro humano já está familiarizado criando assim uma linguagem mais natural que o cérebro compreende e reconhece mais facilmente. Seguem-se duas situações onde é possível aplicar esta proporção na área do web design na tentativa de criar um design mais agradável.

Layout de duas colunas

Uma forma de criar obras segundo esta razão é por exemplo numa página de Internet que utilize duas colunas. Ao definir a largura do conteúdo de uma determinada página de Internet dividir essa largura por Phi (1.618) e assim obter o valor da coluna principal da página a desenvolver. Consequentemente ao se subtrair à largura total a largura da coluna principal também se obtém a largura da coluna secundária.

Exemplo:

Largura de conteúdo = 760px
Largura coluna principal = 760px / 1.618 ~= 470px
Largura coluna secundária = 760px – 470px = 290px

Elementos rectangulares

Outro aspecto prende-se com a proporção dos diferentes típicos elementos rectangulares que existem nas páginas de Internet. É recomendável que esses elementos como, por exemplo, a navegação do site ou o espaço de publicidade também tenham em conta a razão de ouro nos seus tamanhos. Ao se definir uma das medidas (altura ou a largura) de um determinado elemento deve-se procurar aproximar a outra das medidas através da razão de ouro.

Exemplo:

Altura do elemento = 300px
Largura do elemento = 300px / 1.618 ~= 185px

Esta razão já foi utilizada à muito tempo atrás por diversos artistas e em diversas situações e por isso não é nada de novo. Contudo parece-me importante relembrar e adaptar estes conceitos para as novas formas de arte e comunicação como por exemplo a Internet.